Preparate il brodo vegetale. In una pentola capiente mettete l'acqua con le carote, il sedano, la cipolla, tutti puliti e tagliati a pezzi. Salate leggermente, poi lasciate sobbollire a fuoco basso per 40 minuti. Filtratelo con il colino e rimettetelo sul fuoco: servirà sia per le patate sia per la pasta, quindi tenetelo sempre caldo.
Intanto sbucciate le patate con il pelaverdure e, sul tagliere, tagliatele a tocchetti non troppo grandi, così cuociono in fretta. Tritate finemente la cipolla con il coltello.
In una padella capiente scaldate l'olio, poi lasciate soffriggere la cipolla a fuoco dolce finché diventa morbida e trasparente. Aggiungete le patate e giratele con il mestolo di legno per qualche minuto: devono insaporirsi bene nel soffritto prima di ricevere il brodo.
A questo punto cominciate a bagnarle con il brodo caldo, un mestolo alla volta, aspettando che venga assorbito prima di aggiungerne altro. Sciogliete lo zafferano in un po' di brodo e versatelo in padella: in pochi secondi le patate prendono colore, la cucina si riempie del suo profumo. Continuate così, piano piano, finché le patate cominciano a sfaldarsi. Regolate di sale e di pepe.
Nel frattempo calate la pasta nel brodo rimasto in pentola. Quando è ancora ben al dente prendetela con la schiumarola e trasferitela nella padella con le patate: il brodo che si porta dietro aiuta la mantecatura.
Mantecate a fuoco basso, girando con il mestolo, perché la pasta finisca di cuocere nella crema di patate. Unite il prezzemolo tritato, poi il pecorino grattugiato, che si scioglie legando tutto. Se il piatto si asciuga troppo, allungatelo con un altro mestolo di brodo. Portatelo in tavola ben caldo.